Question

已知圓，直線，點在直線上，過點作圓的切線、，切點為、．
（Ⅰ）若，求點坐標；
（Ⅱ）若點的坐標為，過作直線與圓交于、兩點，當時，求直線的方程；
（III）求證：經過、、三點的圓與圓的公共弦必過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）或；（III）

試題分析：解：（Ⅰ）由條件可知，設，則解得或，所以或………………4分
(Ⅱ)由條件可知圓心到直線的距離，設直線的方程為，
則，解得或 
所以直線的方程為或………………8分
（III）設，過、、三點的圓即以為直徑的圓，
其方程為
整理得與相減得

即
由得
所以兩圓的公共弦過定點………………14分
點評：本題第一、二小題較容易，第三小題較難。但第三小題解法巧妙，使得問題簡化。這種解法是這樣的，將兩圓的方程相減，得到一條直線的方程，由于兩圓相交于兩點，因而這條直線也經過這兩點，故這條直線就是弦所在的直線。