Question

【題目】如下圖，已知是以為圓心，以4為半徑的圓上的動點，與所連線段的垂直平分線與線段交于點。

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知點坐標為（4,0），并且傾斜角為銳角的直線經過點并且與曲線相交于兩點，

（ⅰ）求證：；

（ⅱ）若，求直線的方程。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件運用橢圓的定義求解；（Ⅱ）借助題設條件運用直線與橢圓的位置關系求解。

試題解析：

（Ⅰ）設，則因為在線段的垂直平分線上，所以，所以。即的軌跡為以為焦點的橢圓，其長半軸為，半焦距為，所以短半軸。所以的方程是。

（Ⅱ）（ⅰ）設，，直線的方程為，則，，。則，。

所以。即。

（ⅱ）因為，所以，不妨設點在第一象限，則，，所以，；即

所以是方程，即方程的兩個根，所以，，所以，．又傾斜角為銳角，所以，所以直線的方程為。