Question

已知函數f （x）=2cos²x-2sinxcosx+1．
（1）設方程f （x）-1=0在（0，z）內的兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值．
（2）把函數y=f （x）的圖象向左平移m （m＞0）個單位使所得函數的圖象關于點（0，2）對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對函數f（x）的解析式化簡整理，根據f（x）-1=0，求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

進而求得x，則x₁和x₂可求，進而求得x₁+x₂．
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，則可知g（x）的解析式，根據函數的圖象關于（0，2）對稱，進而求得m的集合，進而求得m的最小值．

解答：解：（1）由題設得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2
∵f（x）-1=0，∴

2

cos（2x+

π

4

）+2=1
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，
由2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

或2kπ+

5

4

π，k∈Z．得x=kπ+

π

4

或kπ+

π

2

∵x∈（0，π）
∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

∴x₁+x₂=

3π

4

（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，
則g（x）=cos（2x+

π

4

+2m）+2
∵y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z
∴2m=kπ+

π

4

，m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z
∵m＞0，∴當k=0時，m取得最小值

π

8

．

點評：本題主要考查了二倍角公式，三角函數圖象的平移，及對稱性．考查了學生綜合把握三角函數知識的能力．