Question

正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為1，求異面直線A₁C₁與AB₁間的距離.

Answer 1

異面直線A₁C₁與AB₁間距離為.

如圖，連結AC₁，在正方體AC₁中，∵A₁C₁∥AC,∴A₁C₁∥平面AB₁C，∴A₁C₁與平面AB₁C間的距離等于異面直線A₁C₁與AB₁間的距離.

連結B₁D₁、BD，設B₁D₁∩A₁C₁=O₁,BD∩AC=O
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，∴AC⊥平面BB₁D₁D
∴平面AB₁C⊥平面BB₁D₁D，連結B₁O，則平面AB₁C∩平面BB₁D₁D=B₁O
作O₁G⊥B₁O于G，則O₁G⊥平面AB₁C
∴O₁G為直線A₁C₁與平面AB₁C間的距離，即為異面直線A₁C₁與AB₁間的距離.
在Rt△OO₁B₁中，∵O₁B₁=，OO₁=1，∴OB₁==
∴O₁G=，即異面直線A₁C₁與AB₁間距離為.