Question

已知A，B兩地相距200km，一只船從A地逆流行駛到B地，水流速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h，（8＜v≤20），若船每小時的燃料費與在靜水中的速度的平方成正比，當v=12km/h時，每小時燃料費為720元．
（1）設船每小時的燃料費為L，求L與v的關系式；
（2）為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？

Answer 1

分析：（1）設出正比例函數L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L與v的關系式；
（2）確定函數解析式，利用導數，確定函數的極值，即為最值，從而可得結論．

解答：解：（1）設L=kv²，其中k為比例系數
由已知條件，將v=12，L=720代入，得到k=

720

122

=5…2
所以L=5v²   （8＜v≤20）…3
（2）設全程的燃料費為y，則船每小時的燃料費為5v²，從A地到B地的時間為

200

v-8

故y=5v²×

200

v-8

=

1000v2

v-8

（8＜v≤20）…5
∴y′=

1000v2-16000v

(v-8)2

…6
令y'=0解得v=0（舍去）或v=16…7
v∈（8，16）時，y′＜0，v∈（16，20）時，y′＞0
∴v=16時，y取得最小值     …9
∴為了使全程的燃料費最省，船的實際速度應為16km/h．…10

點評：本題考查函數解析式的確定，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．