Question

（2009•上海模擬）已知函數f（x）=x²-2tx+1，x∈[2，5]有反函數，且函數f（x）的最大值為8，求實數t的值．

Answer 1

分析：二次函數存在反函數，則它一定是區間[2，5]上的單調函數，函數f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，通過討論對稱軸與區間[2，5]的關系，可求函數的最大值，函數f（x）的最大值為8，解方程可求得t值

解答：解：因為函數有反函數，所以在定義域內是一一對應的函數f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，所以t≤2或t≥5
若t≤2，在區間[2，5]上函數是單調遞增的，所以f（x）_max=f（5）=25-10t+1=8，解得t=

9

5

，符合       
若t≥5，在區間[2，5]上函數是單調遞減的，所以f（x）_max=f（2）=4-4t+1=8，解得t=-

3

4

，與t≥5矛盾，舍去 
綜上所述，滿足題意的實數t的值為

9

5

點評：本題考查了函數反函數存在的充要條件以及二次函數最大值的求法，解題時要學會分類討論，做到不重不漏