Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

．
（Ⅰ）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把所求的式子利用二倍角的余弦函數公式及三角形的內角和定理化簡后，得到一個關于cosA的關系式，把cosA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根據余弦定理表示出cosA，讓其等于

1

3

，然后把等式變為

2

3

bc=b2+c2-a2，利用基本不等式和a的值即可求出bc的最大值．

解答：解：（Ⅰ）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+

1

3

)+(

2

9

-1)
=-

1

9

；
（Ⅱ）根據余弦定理可知：

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，
又∵a=

3

，即

2

3

bc≥2bc-3，
∴bc≤

9

4

．當且僅當b=c=

3

2

時，bc=

9

4

，
故bc的最大值是

9

4

．

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數公式及余弦定理化簡求值，靈活運用基本不等式求函數的最值，是一道中檔題．