Question

【題目】設函數f（x）的定義域為U=（0，+），且滿足條件f（4）=1。對任意的x1，x2∈U，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），且當x1≠x2時，有>0。

（1）求f（1）的值；

（2）如果f（x+6）+f（x）>2，求x的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) f（1）=0 (2) （2，+）

【解析】試題分析: (1)令x1=x2=l，代入f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），即可求出f（1）的值；（2）設0<x1<x2，則x2-x1>0.又因為當x1≠x2時， >0，所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），所以f（x）在定義域內為增函數. 令x1=x2=4，可求出f（16）=2, 當即x>0時，原不等式可化為f[x（x+6）]>f（16）,根據函數的單調性解出不等式,即x的范圍.

試題解析:

(1)因為對任意的x1，x2∈U，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

所以令x1=x2=l，得f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），所以f（1）=0。

（2）設0<x1<x2，則x2-x1>0。

又因為當x1≠x2時， >0，

所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），所以f（x）在定義域內為增函數。

令x1=x2=4，得f（4×4）=f（4）+f（4）=1+1=2，即f（16）=2。

當即x>0時，原不等式可化為f[x（x+6）]>f（16）。

又因為f（x）在定義域上為增函數，所以x（x+6）>16，解得x>2或x<-8。

又因為x>0，所以x>2。所以x的取值范圍為（2，+）。

點睛:證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據定義得出其單調性.