Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，△PAD是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用面面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理即可得出．
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：∵面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，
又AB?面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：取AD中點O，連接PO，∵△PAD為正三角形，
∴PO⊥AD，由（Ⅰ）知AB⊥面PAD，PO?面PAD，
∴PO⊥面ABCD，建立空間直角坐標系如圖2所示，
則O（0，0，0），P(0，0，

3

)，C（1，0，0），D（0，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，
B（1，-1，0），A（0，-1，0）．
∴

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
設平面PAE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AE = 1 2 x+ 3 2 y=0 n AP =y+ 3 z=0

，令z=

3

，則y=-3，x=9，∴

n

=(9，-3，

3

)．
取平面ABE的法向量為

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

31

31

．
∴sin＜

n

，

m

＞=

930

31

．
∴二面角P-AE-B的正弦值為

930

31

點評：熟練掌握面面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量的夾角公式求二面角等是解題的關鍵．