Question

如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面
所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，
AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3，且設點O是AB的中點。

（1）證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求異面直線OC與A_lB_l所成角的正切值。

Answer 1

（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，得到OD∥BB₁∥CC_{1 ，}                                          
因為O是AB的中點，可證ODCC₁是平行四邊形，因此有OC∥C₁D，推出OC∥面A₁B₁C₁ ；
（2）。

試題分析：（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D    
              
則OD∥BB₁∥CC₁                                              
因為O是AB的中點，
所以
則ODCC₁是平行四邊形，因此有OC∥C₁D
平面C₁B₁A₁且平面C₁B₁A₁，
則OC∥面A₁B₁C₁                   6分
（2）由（1）得OC∥C₁D，則為異面直線OC與A_lB_l所成角。
在中，         12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，如果利用空間向量，可省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。