Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：PB∥平面EFG
（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中點H，連接GH，HE，易知E，F，G，H四點共面，根據中位線定理可知EH∥PB，又EH?面EFG，PB?平面EFG，滿足線面平行的判定定理所需條件；
（2）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件，過點Q作QR⊥AB于R，連接RE，過A作AT⊥ER于T，可知AT就是點A到平面EFQ的距離，設CQ=x（0≤x≤2），在Rt△EAR中利用等面積法可求出x，從而求出所求．

解答：（1）證明：取AB中點H，連接GH，HE，
∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四點共面．
又H為AB中點，∴EH∥PB．又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．
（2）解：假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件．
過點Q作QR⊥AB于R，連接RE，則QR∥AD．
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．
又∵E，F分別是PA，PD中點，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB
又EF?面EFQ，∴面EFQ⊥平面PAB．
過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，
∴AT就是點A到平面EFQ的距離．
設CQ=x（0≤x≤2），則BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，AT=

AR•AE

RE

=

(2-x)•1

(2-x)2+12

=0.8，解得x=

2

3

．
故存在點Q，當CQ=

2

3

時，點A到平面EFQ的距離為0.8．

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及異面直線所成角和點到面的距離的度量，同時考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．