Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點；
（3）求四棱錐M-DEBC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理、勾股定理的逆定理、等邊三角形的性質、線面垂直的判定和性質定理即可證明；
（2）利用線面平行的判定和性質定理、平行線分線段成比例的判定和性質定理即可得出；
（3）四棱錐M-DEBC的體積為

1

3

×S四邊形ABCD×PE．

解答：證明：（1）如圖所示：不妨設AB=2．
∵四邊形ABCD為邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，E為AD中點．
在△ABE中，由余弦定理可得BE²=1²+2²-2×1×2cos60°=3．
∴AE²+BE²=AB²．
∴∠BAE=90°．
∴BE⊥AD，
又∵△PAD為正三角形，E為AD的中點，∴PE⊥AD．
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE．
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PBE．
（2）∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADN∩平面PBC=MN，∴AD∥MN．
∴MN∥BC，
∵N為PB中點，
∴M為PC中點．
（3）由于側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，
則△PAD的高PE即為四棱錐M-DEBC的高的2倍，
由于四棱錐M-DEBC的體積為

1

3

×S四邊形DEBC×

1

2

PE．且PE=4×

3

2

=2

3

，
又由（1）知，BE⊥AD
故S_{四邊形DEBC}=

1

2

×(4+2)×4×

3

2

=6

3

故四棱錐M-DEBC的體積為

1

3

×6

3

×

1

2

•2

3

=6．

點評：熟練掌握余弦定理、勾股定理的逆定理、等邊三角形的性質、線面垂直的判定和性質定理、線面平行的判定和性質定理、平行線分線段成比例的判定和性質定理是解題的關鍵．