Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=30°，|OP|=

7

a，則該雙曲線的漸近線方程為？

Answer 1

分析：要求漸近線方程，即要求a，b的關(guān)系，首先由定義和余弦定理得到一個(gè)關(guān)系，再由中線長(zhǎng)公式得到一個(gè)關(guān)系，聯(lián)立可得．

解答：解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，且x＞y 則x-y=2a 由余弦定理

1

2

=

x2+y2-4c2

2xy

∴x²+y²-xy=4c²∵中線長(zhǎng)公式OP²=

1

2

（PF₁²+PF₂²-

1

2

F₁F₂²） 7a²=

1

2

（x²+y²-2c²）
∴xy=4b²x²+y²=4（b²+c²） 7a²=2（b²+c²）-c²2a²=b²漸進(jìn)線方程為：y²=2x²

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義，余弦定理及中線長(zhǎng)公式，體現(xiàn)了在解題中要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化知識(shí)．