Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F1PF2=

π

3

，且|OP|=

3

2

a，則該橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：由于

PO

=

1

2

（

PF1

+

PF2

），兩邊平方，再利用余弦定理即可求得該橢圓的離心率．

解答：解：令|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，m+n=2a．
∵

PO

=

1

2

（

PF1

+

PF2

），|

PO

|=

3

2

a，
∴

PO

2=

1

4

（

PF1

2+2

PF1

•

PF2

+

PF2

2）
即

3

4

a²=

1

4

（m²+2mncos

π

3

+n²），
∴3a²=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn，
∴a²=mn．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：|F1F2|2=m²+n²-2mn×

1

2

=（m+n）²-3mn，
即4c²=4a²-3mn=4a²-3a²=a²，
∴e=

c

a

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．