Question

將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，現將三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如圖乙．
（I）求證：BC⊥AD；
（II）求證：O為線段AB中點；
（III）求二面角D-AC-B的大小的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由AD在平面ABC上的射影與BC垂直，即可證明；
（II）通過計算，求得AD=BD，再由等腰三角形高線即中線的性質證得；
（III）利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角，再由正弦定義求得．
解答：（I）證明：由已知D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，∴DO⊥平面ABC，
則AO為AD在平面ABC上的射影，
又AO⊥BC，且BC?平面ABC，
∴BC⊥AD．

（II）證明：由（1）得AD⊥BC，又AD⊥DC
且BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC
又∵BD?平面ADB，∴AD⊥BD，
在Rt△ACD中，AD=2sin30°=1；在Rt△ABC中，AB=2sin45°=，
∴在Rt△ABD中，BD==1，∴BD=AD，
又DO⊥AB，∴O是AB的中點．

（III）解：過D作DE⊥AC于E，連接OE，
∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
，且，∴，
即二面角D-AC-B的正弦值為．
點評：本題主要考查射影定理、二面角的平面角及基本運算能力．