Question

記集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
（Ⅰ）令函數f（x）=x²+bx+c
（1）若A≠∅，求證：B≠∅；
（2）若A=∅，判斷B是否也為空集；
（Ⅱ）（1）證明A⊆B；
（2）若f（x）為增函數，研究集合A和B之間的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）（1）先確定方程，再結合根的判別式，可得結論；
（2）A=∅，方程無解，結合根的判別式，可得結論；
（II）（1）分類討論，利用集合包含關系的定義，可得結論；
（2）任取x₀∈B，則f（f（x₀））=x₀，分類討論，可得x₀=f（x₀），即x₀∈A，則B⊆A，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=x²+bx+c得f（f（x））=f²（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x²-bx
由f（f（x））=x得到f²（x）+bf（x）+c=x，即f²（x）+bf（x）+f（x）-x²-bx=x
整理得到f²（x）-x²+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x²+（b-1）x+c=0②或x²+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判別式△=（b-1）²-4c
方程③的判別式△1=(b+1)2-4b-4c-4=(b-1)2-4c-4=△-4
（1）若A≠?，即f（x）-x=0有解，即x²+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，則①有解，即B≠?
（2）若A=?，即△＜0，則△₁＜0，②和③均無解，則①無解，即B=?----------------（6分）
（Ⅱ）（1）證明：若A=?，則A⊆B
若A≠?，任取x₀∈A，則f（x₀）=x₀，則f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
即x₀∈B，即A⊆B--------------------------------------------（8分）
（2）解：任取x₀∈B，則f（f（x₀））=x₀，
若x₀＞f（x₀），因為函數f（x）為增函數，則f（x₀）＞f（f（x₀））=x₀，產生矛盾；
若x₀＜f（x₀），因為函數f（x）為增函數，則f（x₀）＜f（f（x₀））=x₀，產生矛盾，
則x₀=f（x₀），即x₀∈A，則B⊆A
再由（1）得A=B-------------------------------------（12分）

點評：本題考查集合的包含關系，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數字思想，屬于中檔題．