Question

（09年湖南師大附中月考文）(13分)

已知點在橢圓：上，、分別為橢圓的左、右焦點，滿足，．

(1)求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的長軸長為6，過點且不與軸垂直的直線與橢圓相交于兩個不同點、，且（，且）。在軸上是否存在定點，使得．若存在，求出所有滿足這種條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）令，．

由題意得：

又，所以，

所以…………………………………(4分)

（2）∵，∴，于是，

∴，

∴橢圓E的方程為…………………………………………………(5分)

從而，

設點M、N、G的坐標依次為、、，

∵，∴，

∴………………………………………………………………(7分)．

又，

且，

∴

即得．  ………………………………………………(9分)

又，

故得．……………………………………………(*)(10分)

因不垂直于軸，設直線的方程為，與橢圓：聯立得：

∵點在橢圓內部，

∴直線必與橢圓有兩個不同交點．

方程有兩個不等實數根，

則由根與系數的關系，得

，，

代入（*）得

整理，得，即

∴存在這樣的定點滿足題設．…………………………………………(13分)