Question

（08年大連24中） （12分）       在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D為AC的中點，

   （1）求證：B₁C∥平面A₁BD；

   （2）若AC₁⊥平面A₁BD，二面角B―A₁C₁―D的余弦值.

Answer 1

解析:（1）連結AB₁交于A₁B于點E，連結ED.

       ∵側面ABB₁A₁是正方形  ∴E是AB₁的中點

       又∵D是AC的中點  ∴ED∥B₁C

       ∴B₁C∥平面A₁BD………………4分

   （2）取A₁C₁的中點G，連結DG，則DG⊥A₁C₁

       ∵AB=BC   ∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面A₁C₁D

       ∴BG⊥A₁C₁

       ∴∠BGD為二面角B―A₁C₁―D的平面角………………8分

       ∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥BD，又∵CC₁⊥平面ABCD，且AC₁在平面ABC的射影為AC，∴AC⊥BD

       ∵AB=BC且D為AC中點，∴AB⊥BC   且BD=AB

       又∵DG=A₁A=AB

       ∴BG=AB    ∴……………………12分