Question

由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：
①“mn=nm”類比得到“

a

•

b

=

b

•

a

”
②“（m+n）t=mt+nt”類比得到“（

a

+

b

）•

c

=

a

•

c

+

b

•

c

”；
③“t≠0，mt=nt⇒m=n”類比得到“

c

≠0，

a

•

c

=

b

•

c

⇒

a

=

c

”；
④“|m•n|=|m|•|n|”類比得到“|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|”；
⑤“（m•n）t=m（n•t）”類比得到“（

a

•

b

）•

c

=

a

•(

b

•

c

)”；
⑥“

ac

bc

=

a

b

”類比得到

a • c

b • c

=

b

a

．     以上的式子中，類比得到的結論正確的是

①②

．

Answer 1

分析：向量的數量積滿足交換律，由“mn=nm”類比得到“

a

•

b

=

b

•

a

”；向量的數量積滿足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”類比得到“（

a

+

b

）•

c

=

a

•

c

+

b

•

c

”；向量的數量積不滿足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能類比得到“

c

≠0，

a

•

c

=

b

•

c

⇒

a

=

c

”；|

a

•

b

|≠|

a

|•|

b

|，故“|m•n|=|m|•|n|”不能類比得到“|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|”；向量的數量積不滿足結合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能類比得到“（

a

•

b

）•

c

=

a

•(

b

•

c

)”；向量的數量積不滿足消元律，故

ac

bc

=

a

b

”不能類比得到

a • c

b • c

=

b

a

．

解答：解：∵向量的數量積滿足交換律，
∴“mn=nm”類比得到“

a

•

b

=

b

•

a

”，
即①正確；
∵向量的數量積滿足分配律，
∴“（m+n）t=mt+nt”類比得到“（

a

+

b

）•

c

=

a

•

c

+

b

•

c

”，
即②正確；
∵向量的數量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能類比得到“

c

≠0，

a

•

c

=

b

•

c

⇒

a

=

c

”，
即③錯誤；
∵|

a

•

b

|≠|

a

|•|

b

|，
∴“|m•n|=|m|•|n|”不能類比得到“|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|”；
即④錯誤；
∵向量的數量積不滿足結合律，
∴“（m•n）t=m（n•t）”不能類比得到“（

a

•

b

）•

c

=

a

•(

b

•

c

)”，
即⑤錯誤；
∵向量的數量積不滿足消元律，
∴

ac

bc

=

a

b

”不能類比得到

a • c

b • c

=

b

a

，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．

點評：本數考查類比推理的應用，解題時要認真審題，注意向量的數量積滿足交換律和分配律，但是不滿足消元律和結合律．