Question

已知圓C的圓心C為（-3，4），且與x軸相切．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若關于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C上，且直線MN與圓x²+y²=2相切，試求直線MN的方程．

Answer 1

（1）∵圓C的圓心C為（-3，4），且與x軸相切．
∴圓C的半徑r=4，可得圓C的標準方程為（x+3）²+（y-4）²=16．
（2）∵關于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C上，
∴直線y=k（x-1）經過圓心C（-3，4），
可得4=k（-3-1），解得k=-1．
由此可得直線MN的斜率k'=

-1

k

=1，設直線MN的方程為y=x+b，即x-y+b=0．
∵直線MN與圓x²+y²=2相切，
∴圓x²+y²=2的圓心O到直線MN的距離等于半徑，
即d=

|0-0+b|

2

=

|b|

2

=

2

，解之得b=±2，
經檢驗，當b=-2時直線MN的方程為y=x-2，與圓C沒有公共點，不符合題意．
∴b=-2舍去，即b=2，直線MN的方程為y=x+2．