Question

下列命題正確的有

 

（把所有正確命題的序號(hào)填在橫線上）：
①若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；
②若S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差數(shù)列；
③若S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數(shù)列；
④若S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N*），則A+B為零．

Answer 1

分析：①取數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，即可推出該命題是假命題；②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數(shù)列；③利用等比數(shù)列的特例判斷選項(xiàng)是否正確；④根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和減去第n-1項(xiàng)的和得到數(shù)列的第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，即可得到此等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，根據(jù)首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出前n項(xiàng)的和，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分析可得結(jié)論是否正確．

解答：解：①取數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，對(duì)任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故錯(cuò)；
②設(shè)等差數(shù)列a_n的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數(shù)列．此選項(xiàng)正確；
③設(shè)a_n=（-1）ⁿ，
則S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，
∴此數(shù)列不是等比數(shù)列，此選項(xiàng)錯(cuò)；
④因?yàn)閍_n=S_n-S_n-1=（Aqⁿ+B）-（Aq^n-1+B）=Aqⁿ-Aq^n-1=（Aq-1）×q^n-1，
所以此數(shù)列為首項(xiàng)是Aq-1，公比為q的等比數(shù)列，
則S_n=

(Aq-1)(1-qn)

1-q

，
所以B=

Aq-1

1-q

，A=-

Aq-1

1-q

，∴A+B=0，故正確；
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．屬中檔題．