Question

已知函數f（x）=（x²-a+1）e^x．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）已知x₁，x₂為f（x）的兩個不同極值點，x₁＜x₂，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，若g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x₁，證明g（x₁）≤

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e2

．

Answer 1

分析：（1）確定切點，求導函數，確定切線斜率，即可得到切線方程；
（2）先確定0＜a≤4，再求得g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x1，利用導數確定g（x₁）的單調性求得最大值

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e2

，即可證得結論．

解答：（1）解：a=2時，f（x）=（x²-1）e^x，f（1）=0，即切點是（1，0）
f'（x）=2xe^x+（x²-1）e^x=（x²+2x-1）e^x，
∴k=f'（1）=2e，即切線斜率k=2e
所以，由點斜式可寫出切線方程為：y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0
（2）證明：令f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，
∵x₁，x₂為f（x）的兩個不同極值點
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1
因為|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，所以2≥|-a+1|-1，所以-2≤a≤4．
又由△＞0得a＞0，所以0＜a≤4，
又由f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁＜x₂，解得x₁=-1-

a

因為0＜a≤4，所以x₁=-1-

a

∈[-3，-1）
g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x1=（2x₁²-a-1）e^x1，
又因為x₁=-1-

a

，所以a=x₁²+2x₁+1，所以g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x1，所以g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁，
令g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁=0得x₁=-2或2，
在區間[-3，-1）上，g（x₁），g′（x₁）變化狀態如下表：

x1	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）
g（x1）		+	0	-
g′（x1）		增	極大值	減

所以當x₁=-2時，g（x₁）取得最大值

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，所以g（x₁）≤

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e2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查不等式的證明，綜合性強．