Question

觀察下列表格，探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的性質，

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上遞減；
函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間

（2，+∞）

上遞增．
當x=

2

時，y_最小=

4

．
（2）證明：函數f(x)=x+

4

x

在區間（0，2）遞減．
（3）函數f(x)=x+

4

x

(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）根據表格可求得函數的單調區間，根據單調性可求得最小值；
（2）直接利用單調性的定義進行證明即可；
（3）根據（1）可得函數的最值，然后根據奇函數的性質可得結論．

解答：解：（1）根據表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
所以x=2時，f（x）有最小值f（2）=4；
（2）證明：設2＞x₂＞x₁＞0，則f（x₂）-f （x₁）=（x₂+

4

x2

）-（x₁+

4

x1

）=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＞x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₂）-f （x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，2）上單調遞減；
（3）由（1）知，f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
f（x）在∈（0，+∞）的最小值為f（2）=4，
又f（x）=x+

4

x

為奇函數，所以x＜0時，f（x）有最大值f（-2）=-4．
故答案為：（2，+∞），2，4．

點評：本題主要考查函數單調性的性質及其證明，以及函數的奇偶性的應用，同時考查了分析問題的能力，屬中檔題．