Question

凸四邊形ABCD中，

AB

⊥

BC

，

CD

⊥

DA

，

|AB

|=

3

，|

BC

|=1，|

BD

|=

2

，則∠BAD的大小為（　　）

A．45°

B．75°

C．105°

D．135°

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，根據兩對向量垂直得到∠ADC與∠ABC都為90°，從而得到A，B，C，D四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BDC，在直角三角形ABC中，由邊AB及BC的長，利用勾股定理求出邊AC的長，根據直角三角形中，一直角邊等于斜邊的一半可得這條邊所對的角為30°，得到∠BAC=∠BDC=30°，在三角形DCB中，由BD及BC的長，利用余弦定理求出DC的長，由兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值求出sin15°的值，然后在直角三角形ADC中，根據銳角三角函數的定義得出DC比AC得比值等于sin15°的值，從而得到∠DAC為15°，由∠DAC+∠BAC即可求出∠DAB的度數．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

由

AB

⊥

BC

，

CD

⊥

DA

，得到∠ADC=∠ABC=90°，
∴A，B，C，D四點共圓，∴∠BAC=∠BDC，
連接AC，在Rt△ABC中，|AB|=

3

，|BC|=1，
根據勾股定理得：|AC|=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠BDC=30°，
在△BDC中，|BD|=

2

，|BC|=1，
根據余弦定理得：|BC|²=|BD|²+|DC|²-2|BD||DC|cos30°，
即1=2+|DC|²-

6

|DC|，
解得：|DC|=

6 + 2

2

（大于斜邊2，舍去）或|DC|=

6 - 2

2

，
則sin∠DAC=

|DC|

|AC|

=

6 - 2

4

，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

4

，
∴∠DAC=15°或∠DAC=165°（舍去），
則∠DAB=∠CAB+∠DAC=45°．
故選A

點評：此題考查了平面向量垂直的意義，直角三角形的性質，余弦定理，以及三角函數的恒等變形，根據題意畫出相應的圖形，根據直角三角形的性質及余弦定理建立三角形的邊角關系，得到解決問題的目的，求值時注意角度的范圍．