Question

某市、、、四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示：

中學
人數

為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取名參加問卷調查．
（1）問、、、四所中學各抽取多少名學生？
（2）從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學的概率；
（3）在參加問卷調查的名學生中，從來自、兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學生，用表示抽得中學的學生人數，求的分布列.

Answer 1

（1）應從、、、四所中學抽取的人數分別為、、、；
（2）參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學的概率為；
（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出樣本的抽樣比例，然后根據分層抽樣的特點（即每個學校的抽樣的比例與總體的抽樣比例相等）計算出在、、、四所中學所抽取的學生人數；（2）先計算出在兩名學生來自同一所學校的取法數，以及從名學生中任意抽取兩名學生的取法種數，最后利用古典概型的概率計算公式計算題中的事件的概率；（3）先確定名學生中、兩校的學生人數，并列舉出隨機變量的可能取值，并利用古典概型的概率計算公式計算出隨機變量的相應取值下對應事件的概率，列舉出隨機變量的分布列即可.
試題解析：（1）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為．
∴應從四所中學抽取的學生人數分別為．       4分
（2）設“從名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學”為事件，
從名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有種，  5分
來自同一所中學的取法共有．       6分
∴．
答：從名學生中隨機抽取兩名學生來自同一所中學的概率為．   7分
（3）由（1）知，名學生中，來自兩所中學的學生人數分別為．
依題意得，的可能取值為，                         8分
，，．  11分
∴的分布列為：

      12分
考點：1.分層抽樣；2.排列組合；3.古典概型；4.隨機變量的分布列