Question

如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個內(nèi)接四邊形建體育設(shè)施（圖中陰影部分），使其四個頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設(shè)AE=x，陰影部分面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)x為何值時，陰影部分面積最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0＜x≤2}（8分）
（2）對稱軸為x=

a+2

4

，又因?yàn)閍＞2，所以

a+2

4

＞1
當(dāng)1＜

a+2

4

＜2，即2＜a＜6時，則x=

a+2

4

時，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
當(dāng)

a+2

4

≥2，即a≥6時，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函數(shù)，
則x=2時，y取最大值2a-4（11分）
綜上所述：當(dāng)2＜a＜6時，AE=

a+2

4

時，陰影部分面積最大值是

(a+2)2

8

；
當(dāng)a≥6時，x=2時，陰影部分面積取最大值2a-4（12分）