Question

(本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱中，AC=BC=1, AA_i="3"  D為CC_i上的點，二面角A-A₁B-D的余弦值為
(I )求證：CD=2;
(II)求點A到平面A₁BD的距離.

Answer 1

（Ⅰ）取AB中點E，A₁B₁中點G，連結EG，交A₁B于F，連結CE、C₁G，作DM⊥GE于M．
∵平面C₁GEC⊥平面A₁ABB₁，∴DM⊥平面A₁ABB₁．
作MN⊥A₁B于N，連結DN，則MN為DN在平面A₁ABB₁上的射影，則∠DNM為二面角B₁-A₁B-D的平面角．……………………………………………………………4分
∴cos∠DNM＝，DM＝C₁G＝，∴MN＝．
∵sin∠MFN＝＝，∴MF＝，∴DC＝2．…………………………7分
（Ⅱ）在△A₁BD中，A₁D＝，BD＝，A₁B＝．
cos∠A₁DB＝＝－，sin∠A₁DB＝，
S△A₁BD＝A₁D·BDsin∠A₁DB＝，
又S△A₁AB＝××3＝，點D到面A₁AB的距離DM＝CE＝，
設點A到平面A₁BD的距離為d，則
S△A₁BD·d＝S△A₁AB×，∴d＝．
故點A到平面A₁BD的距離為．………………………………………………12分

略