Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求證：EF⊥平面BCE；
（2）設線段CD的中點為P，在直線AE上是否存在一點M，使得PMP平面BCE？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角F-BD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質證明BC⊥平面ABEF，可得BC⊥EF，再證明EF⊥BE，利用線面垂直的判定可得結論；
（2）存在點M，當M為線段AE的中點時，PM∥平面BCE，證明PMNC為平行四邊形，可得PM∥CN；
（3）作出二面角的平面角，再利用三角函數求解即可．

解答：（1）證明：因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．
因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°
又因為∠AEF=45°，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE，
因為BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）解：存在點M，當M為線段AE的中點時，PM∥平面BCE．
 取BE的中點N，連接CN，MN，PM，則MN平行且等于

1

2

AB平行且等于PC，
所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN，
因為CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，
所以PM∥平面BCE；
（3）解：由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，
作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA，從而，FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于G，連結FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角．
因為FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．
設AB=1，則AE=1，AF=

2

2

，FG=AF•sin∠FAG=

1

2

在Rt△FGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+

1

2

=

3

2

，GH=BG•sin∠GBH=

3

2

•

2

2

=

3 2

4

在Rt△FGH中，tanFHG=

FG

GH

=

2

3

，
故二面角F-BD-A的正切值為

2

3

．

點評：本題考查面面垂直、線面垂直、線面平行，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．