Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）證明： 且.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）求導數后令可得，根據與的大小關系可得在區間上的符號，從而可確定函數的單調性．（2）分兩部分證明．（ⅰ）時，則，可證得，兩邊同乘以后可得；（ⅱ）令 ，利用導數可得，從而，故結論得證．

試題解析：

（1）解：∵，

∴．

令，得，

①當，即時，

則，

在上單調遞增；

②當，即時，

令，得；令，得.

在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，當時， 在上單調遞增；

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）證明:

先證．

當時， ，

由（1）可得當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增．

∴，

，

.

再證．

設 ，

則 ，當且僅當時取等號．

設 ，

則，

∴當時， ， 單調遞增；

令，得時， ， 單調遞減．

.

，

又此不等式中兩個等號的成立條件不同，故，

從而得證.

綜上可得且．