Question

設M，N分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁，AD的中點，試作出平面C₁MN與正方體的截面．

Answer 1

分析：取DD₁的中點G，再取GD的中點F，連AG、NF、C₁F，延長FN交A₁A的延長線于H，連HM交AB于點E，連結NE得到的五邊形C₁MENF．再根據平面的基本性質和正方體的性質加以證明，可得C₁、M、E、N、F共面，即得五邊形C₁MENF為所求作的截面．

解答：解：取DD₁中點G，再取GD的中點F，連結AG、NF、C₁F，延長FN交A₁A于點H，連結HM交AB于點E，連結EN，
則五邊形C₁MENF就是所求的截面．
下面證明C₁、M、E、N、F共面，
∵G、M分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁、BB₁的中點，∴C₁M∥AG，
∵△ADG中，N、F分別為AD、DG的中點，
∴NF∥AG，可得C₁M∥NF，
由此可得C₁M與NF確定平面C₁MNF，
又∵H∈NF，NF?平面C₁MNF，∴H∈平面C₁MNF，
因此H、C₁、M、N、F共面，可得HM?平面C₁MNF，
∵E∈HM，HM?平面C₁MNF，
∴E∈平面C₁MNF，即C₁、M、E、N、F共面．

點評：本題給出正方體棱的中點，求作正方體的截面．著重考查了平面的基本性質和正方體的性質等知識，屬于中檔題．