Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖像與軸相交于點、（點在點的左側），與軸相交于點，連接、．

（1）求線段的長；

（2）若平分，求的值；

（3）該函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）令，建立方程，求出點坐標，即可得出結論；
（2）先表示出，進而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出結論；
（3）先判斷出點是的外接圓的圓心，進而得出，最后用三角函數建立方程求解即可．

（1）∵ 二次函數的圖象與軸相交于點、，

∴令，則，

或，

，，

，

故答案為2；

（2）如圖，

由（1）知，，，

，，

令，，

，

，

過點作，

，

，

，

是的平分線，

，

，

，

，

，

在中，根據勾股定理得，，

，

（舍）或（舍）或；

（3）存在，

理由：假設存在，如圖，

二次函數，

拋物線對稱軸為，

點是的垂直平分線上，

是等邊三角形，

，，

點是的垂直平分線上，

點是的外接圓的圓心，

，

，

，，

，，

，

函數圖象的對稱軸上存在點，使得為等邊三角形．