Question

新晨投資公司擬投資開發某項新產品，市場評估能獲得10～1000萬元的投資收益．現公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于1萬元，同時不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）設獎勵方案的函數模型為f（x），試用數學語言表述公司對獎勵方案的函數模型f（x）的基本要求．
（Ⅱ）下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數模型：
     ①f(x)=

x

150

+2；     ②f（x）=4lgx-2．
     試分別分析這兩個函數模型是否符合公司要求．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可知獎勵方案描述的是函數的單調性和最值，從而運用數學語言描述出即可；
（Ⅱ）分別對兩個函數模型研究它們的單調性和恒成立問題，判斷是否符合（1）中的基本要求即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，公司對獎勵方案的函數模型f（x）的基本要求是：
當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立，
（Ⅱ）（i）對于函數模型f(x)=

x

150

+2，
當x∈[10，1000]時，f（x）是單調遞增函數，則f（x）≥1顯然恒成立，
若函數f(x)=

x

150

+2≤

x

5

在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，
又∵（29x）_min=290，
∴f(x)≤

x

5

不恒成立，
綜上所述，函數模型f(x)=

x

150

+2滿足基本要求①②，但是不滿足③，
故函數模型f(x)=

x

150

+2不符合公司要求；
（ii）對于函數模型f（x）=4lgx-2，
當x∈[10，1000]時，f（x）是單調遞增函數，則f（x）_min=f（10）=4lg10-2=2＞1，
∴f（x）≥1恒成立，
令g(x)=4lgx-2-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

，
∵當x≥10時，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
∴g（x）在[10，1000]上是減函數，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-2-2=0，
即4lgx-2-

x

5

≤0，
∴4lgx-2≤

x

5

，
∴f(x)≤

x

5

恒成立，
綜上所述，函數模型f（x）=4lgx-2滿足基本條件①②③，
故函數模型f（x）=4lgx-2符合公司要求．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題的解題關鍵是理解題意，將題意轉化為數學問題進行求解．屬于中檔題．