Question

（2012•湖南模擬）某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）請分析函數y=

x

150

+2是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
（Ⅱ）若該公司采用函數模型y=

10x-3a

x+2

作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f（x）≤

x

5

．
（Ⅱ）先將函數解析式進行化簡，然后根據函數的單調性，以及使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤

x

5

對x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相應的a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）對于函數模型f（x）=

x

150

+2
當x∈[10，1000]時，f（x）為增函數  …（2分）
f（x）_max=f（1000）=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
但當x=10時，f（10）=

1

15

+2＞

10

5

，即f（x）≤

x

5

不恒成立
故函數模型y=

x

150

+2不符合公司要求…（6分）
（Ⅱ）對于函數模型g（x）=

10x-3a

x+2

，即g（x）=10-

3a+20

x+2

當3a+20＞0，即a＞-

20

3

時遞增…（8分）
為使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥

982

3

…（10分）
為使g（x）≤

x

5

對x∈[10，1000]恒成立，即要

10x-3a

x+2

≤

x

5

，即x²-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）²+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥

192

5

…（12分）
綜上所述，a≥

982

3

，所以滿足條件的最小的正整數a的值為328…（13分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及函數的最值得應用，同時考查了函數的單調性和恒成立問題，以及轉化的思想，屬于中檔題．