Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取PD的中點F，連結EF，AF，因為E為PC中點， ∴EF∥CD，且 ，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，BE平面PAD，AF平面PAD，
∴BE∥平面PAD
（Ⅱ）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD
在直角梯形ABCD中， ，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

【解析】
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．