Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足：

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

，（O不在直線l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求a的范圍；
（3）求證：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

對n≥2的正整數n恒成立．

Answer 1

分析：（1）根據三點共線的充要條件，可得y+1-lnx+

x-1

ax

=1，整理可得y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，進而求出a的范圍；
（3）當a=1時，f（x）=lnx+

1

x

-1，結合（2）中函數的單調性，可得lnx≥1-

1

x

，令x=

n

n-1

得：ln

n

n-1

＞

1

n

，進而利用對數的運算性質，可證得結論．

解答：解：（1）由已知得：

OA

=（y+1-lnx） 

OB

+

x-1

ax

OC

，由A、B、C共線得：
y+1-lnx+

x-1

ax

=1，整理得：y=lnx+

1-x

ax

（2）f（x）=lnx+

1-x

ax

=lnx+

1

ax

-

1

a

∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥

1

x

在x∈[1，+∞）上的最大值，又

1

x

≤1
∴a≥1
證明：（3）當a=1時，f（x）=lnx+

1

x

-1
由（2）知當x∈[1，+∞）時，f（x）=lnx+

1

x

-1≥f（1）=0
∴lnx≥1-

1

x

（僅x=1時取“=”）
令x=

n

n-1

得：ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

，即：ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，函數解析式的求法，導數法求函數的單調性，是函數與不等式問題的綜合應用，難度較大．