Question

【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點．

（）求的取值范圍．

（）記兩個極值點， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由導數與極值的關系知可轉化為方程在有兩個不同根；再轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同交點；（2）原式等價于，令， ，則不等式在上恒成立，令， ，根據函數的單調性求出即可.

試題解析：（）由函數得的定義域為，且，

若函數在定義域內有兩個不同的極值點，則方程，

即有兩個不同的根，

即函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，

如圖所示：

若令過原點且切于函數圖象的直線斜率為，只須，

令切點，則，

又，

∴，解得， ，∴，

∴的取值范圍是．

（）因為等價于，

由（）可知， ， 分別是方程的兩個根，即， ，

所以原式等價于，

∵， ，

∴原式等價于，

又由， 作差得，

∴原式等價于，

∵，原式恒成立，

即恒成立，

令， ，則不等式在上恒成立，

令， ，

則，

當時，可見時， ，

故在上單調遞增，

又， 在上恒成立，符合題意；

當時，可見時， ；

時， ，

∴在時單調遞增，在時單調減，

又，故在上不可能恒小于，不符合題意，

綜上所述，若不等式恒成立，只須，

又，故．