Question

【題目】如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一點(diǎn)．

（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，易知是的中點(diǎn)，然后利用中位線定理可使問題得證；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，由此求得平面與平面的法向量，從而利用空間夾角公式求解．

試題解析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，易知是的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

則由得，

令，得，

易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分