Question

對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數。

（Ⅰ）求閉函數符合條件②的區間[]；

（Ⅱ）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（Ⅲ）若是閉函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，在[]上遞減，

         則     

      解得…………3分

所以，所求的區間為[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）

解：取則，

即不是上的減函數。…………6分

     取

     ，  

即不是上的增函數          …………8分

所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。                                                                                                                  ---------9分

（Ⅲ）解：若是閉函數，則存在區間[]，

在區間[]上，函數的值域為[]，

即，為方程

的兩個實數根，…………10分

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，

     解得                  …………12分

當時，有，無解          ……13分

    綜上所述，                 -----------14分