Question

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y=x³符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由．
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=

x+4

+m是“和諧”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“和諧”函數(shù)的定義，建立條件關(guān)系，即可求y=x³符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)是否滿足“和諧”函數(shù)？的條件即可．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)g（x）是“和諧”函數(shù)，建立條件關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閥=x³是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以有

a3=a b3=b a＜b

⇒

a=-1 b=1

a=-1 b=0

a=0 b=1

，
即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
（Ⅱ）函數(shù)f(x)=x+

4

x

在（0，+∞）上不單調(diào)（說明），不是“和諧”函數(shù)．
（Ⅲ）若g(x)=

x+4

+m是“和諧”函數(shù)．
設(shè)-4≤x₁＜x₂，
則g(x1)-g(x2)=

x1+4

-

x2+4

=

(x1+4)-(x2+4)

x1+4 + x2+4

＜0，
所以g(x)=

x+4

+m是單調(diào)遞增函數(shù)．
若它是“和諧”函數(shù)，則必具備方程x=

x+4

+m有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，
即方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解且同時(shí)大于或等于-4和m．若令h（x）=x²-（2m+1）x+m²-4，
則

△＞0 2m+1 2 ＞-4 h(-4)≥0 x≥m

⇒m∈(-

17

4

，-4]．
另解：方程x=

x+4

+m有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于兩函數(shù)y₁=x-m與y2=

x+4

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線過（-4，0）時(shí)，m=-4；
直線與拋物線相切時(shí)m=-

17

4

，∴m∈(-

17

4

，-4]．
若它是“和諧”函數(shù)，則必具備方程x=

x+4

+m有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，
即方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解且同時(shí)大于或等于-4和m．
若令h（x）=x²-（2m+1）x+m²-4，
則

△＞0 2m+1 2 ＞-4 h(-4)≥0 x≥m

⇒m∈(-

17

4

，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查“和諧”函數(shù)的定義及應(yīng)用，正確理解“和諧”函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．