Question

已知二次函數f（x）滿足：f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區間[-1，m]上的最大值．

Answer 1

解：（1）設二次函數f（x）=ax² +bx+c，∵f（0）=1，∴c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x，可得 2ax+a+b=2x，故有 a=1，b=-1，故有f（x）=x² -x+1．
（2）二次函數f（x）=x² -x+1的對稱軸為x=，故f（-1）=f（2）．
當-1＜m≤2時，f_max（x）=f（-1）=3．
當m＞2時，f_max（x）=f（m）=m²-m+1．
分析：（1）設二次函數f（x）=ax² +bx+c，由f（0）=1，求得c=1．再由f（x+1）-f（x）=2x，可得 a=1，b=-1，從而求得f（x）的解析式．
（2）二次函數f（x）=x² -x+1的對稱軸為x=，故f（-1）=f（2）．-1＜m≤2時，f_max（x）=f（-1），當m＞2時，f_max（x）=f（m）．
點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．