Question

【題目】已知是軸上的動點（異于原點），點在圓上，且.設線段的中點為，當點移動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）當直線與圓相切于點，且點在第一象限.

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）直線平行，交曲線于不同的兩點、.線段的中點為，直線與曲線交于兩點、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）連接，設，求出點的坐標，然后將點的坐標代入圓的方程，化簡后可得出曲線的方程；

（2）（i）由題意可得出，再由可判斷出為等腰直角三角形，可求出點、的坐標，并求出點的坐標，由此可求出直線的斜率；

（ii）設，，直線，將直線的方程與曲線的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，進而可求得直線的方程，由此可求得點、的坐標，再利用弦長公式化簡可證得結論成立.

（1）連接，設，由，可得，

由為的中點，則，，，

，則，

把代入，整理得，

所以曲線的方程為；

（2）（ⅰ）當直線與圓相切于點，則，

，則，所以，是等腰直角三角形，且，

又點在第一象限，得，.

由為的中點，得，所以直線的斜率為；

（ⅱ）設，，直線，

由，整理得，

由韋達定理得，.

所以點坐標為，則直線方程為.

由方程組，得，，

所以.

又，

所以.