Question

如圖5，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結論.

Answer 1

(1)  (2)不存在

試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對角線的長為2,則可得的兩個頂點和的兩個焦點的坐標,求的的值,再結合點在雙曲線上,代入雙曲線結合之間的關系即可求的的值,得到雙曲線的方程,橢圓的焦點坐標已知,點在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關系即可求出的值,得到橢圓的標準方程.
(2)分以下兩種情況討論,當直線的斜率不存在時,直線與只有一個公共點,即直線經過的頂點,得到直線的方程,代入雙曲線求的點的坐標驗證是否符合等式,當直線的斜率存在時,直線的方程為,聯立直線與雙曲線消元得到二次方程,再利用根與系數之間的關系得到關于兩點橫縱坐標之和的表達式,利用出,再立直線與橢圓的方程即可得到直線的關系,可得到內積不可能等于0,進而得到,即,即不存在這樣的直線.
的焦距為,由題可得,從而,因為點在雙曲線上,所以,由橢圓的定義可得
,于是根據橢圓之間的關系可得,所以的方程為.
(2)不存在符合題設條件的直線.
①若直線垂直于軸,即直線的斜率不存在,因為與只有一個公共點,所以直線的方程為或,
當時,易知所以,此時.
當時,同理可得.
②當直線不垂直于軸時,即直線的斜率存在且設直線的方程為,聯立直線與雙曲線方程可得,當與相交于兩點時,設,則滿足方程,由根與系數的關系可得,于是,聯立直線與橢圓可得
,因為直線與橢圓只有一個交點,
所以,化簡可得,因此
,
于是,即,所以,
綜上不存在符合題目條件的直線.