Question

（選修4-5：不等式選講）已知實數m，n＞0．
（Ⅰ）求證：

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

；
（Ⅱ）求函數y=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m，n＞0，利用柯西不等式可證（m+n）（

a2

m

+

b2

n

）≥（a+b）²，變形即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，將所求函數關系式y=

2

x

+

9

1-2x

變形為y=

22

2x

+

32

1-2x

，利用（Ⅰ）中的結論即可求得函數y=

2

x

+

9

1-2x

（x∈（0，

1

2

））的最小值．

解答：證明：（Ⅰ）∵m，n＞0，由柯西不等式，得（m+n）（

a2

m

+

b2

n

）≥（a+b）²，
∴

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數y=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25，
∴函數y=

2

x

+

9

1-2x

（x∈（0，

1

2

））的最小值為25，當且僅當x=

1

5

時取得．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查柯西不等式的應用，考查化歸思想與變形能力，屬于中檔題．