Question

本題包括（1）、（2）、（3）、（4）四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（1）、選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
若點A（2，2）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣
（3）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
在極坐標系中，A為曲線ρ²+2ρcosθ-3=0上的動點，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動點，求AB的最小值．
（4）選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正數，且a₁•a₂…a_n=1，求證：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

Answer 1

分析：（1）要證明BT平分∠OBA，即證∠OBT=∠ABT，根據∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點T，聯想到切線的性質，我們可以先連接OT，然后根據QA∥OT，結合角與角之間的等量代換，我們易得結論．
（2）首先由點A（2，2）在矩陣M對應變換作用下得到的點為B（-2，2）以及矩陣M的參數表達式可以解除矩陣M，再根據M^-1M=E，可直接解出矩陣M的逆矩陣．
（3）先將ρ²+2ρcosθ-3=0和直線ρcosθ+ρsinθ-7=0極坐標方程利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標方程．再利用點到直線的距離求得|AB|距離的最小值即可．
（4）根據不等式的結構特征，得出2+a_n=1+1+a_n≥3•

3	an

＞0，對各項放縮后，再利用不等式的性質同向不等式相乘．

解答：（1）證明：連接OT，
∵AT是切線，
∴OT⊥AP．
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO
又∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA
（2）解：因為點A（2，2）在矩陣M對應變換作用下得到的點為B（-2，2），
故有：M

2 2

=

-2 2

，即

2cosα-2sinα 2sinα+2cosα

=

-2 2

，
所以cosα-sinα=-1，cosα+sinα=1，
可解得：cosα=0，sinα=1，
所以M=

0 -1 1 0

，由M^-1M=

1 0 0 1

，
可解得矩陣M的逆矩陣M-1=

0 1 -1 0

．
（3）解：圓方程為（x+1）²+y²=4，圓心（-1，0），直線方程為x+y-7=0
圓心到直線的距離d=

|-1-7|

2

=4

2

，所以|AB|_min=4

2

-2．
（4）證明：∵a₁＞0，1＞0；
∴2+a₁=1+1+a₁≥≥3•

3	a1

＞0；…（2分）
同理：2+a₂=1+1+a₂≥3•

3	a2

＞0；…，2+a_n=1+1+a_n≥

3	an

＞0
由不等式性質：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ•

3	a1a2…an

…（4分）
∵已知：a₁•a₂…a_n=1，代入上式得：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ…（6分）

點評：本題是選做題，考查四方面的內容，主要考查二階矩陣變化以及由矩陣求其逆矩陣的方法，考查點的極坐標和直角坐標的互化，考查不等式的證明，用到了利用三元均值不等式放縮法和不等式的性質．