Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知的三個頂點在拋物線:上運動，

（1）. 求的焦點坐標；

（2）. 若點在坐標原點， 且 ，點在上，且  ，

求點的軌跡方程；

（3）. 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個正三角形的邊長，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 【解】. 由得 所以,焦點坐標為 　　　　　　　　……3分

                                                  

(2) 【解1】設點的坐標為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于                 

則得,                    ……5分

又點在拋物線上,故有,

   或(舍)

 -------①                                            ……7分

又的斜率為,則有  ,既代入①

故點軌跡為  (注:沒寫扣1分)        ……9分

另解:由上式①過定點, ,

所以, ,  既

【解2】設點的坐標為,方程為,由得方程為

,則得,  同理可得

方程為恒過定點,

  ,

 所以, ,  既

(注:沒寫扣1分)

（其他解法,可根據【解1】的評分標準給分）

(3) 【解1】

若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設,

(其中不妨設),  則 ,    ------①  ……11分

令,則,即

將①代入得,,                                

   -----------------②                          ……13分

  線段的中點為,由①, ②得的橫坐標為,

的縱坐標為                  ……15分

又設 由得

                                                                  點在拋物線上,則,即,

又因為 ,                                           ……18分

設,

的三邊所在直線的斜率分別是

   ------①     ……12分

若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為

,則,

所以                                          ……14分

即-----②    

又--------------③                             ……16分

所以,

將②, ③代入上式得邊長                                       ……18分

（其他解法,可根據【解1】的評分標準給分）

 

【解析】略