Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線與橢圓交于A，B兩點，若

AF

=3

FB

，則k=（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：由橢圓的標準方程即可得到橢圓的右焦點F(2

3

，0)，過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線為my=x-2

3

，其中m=

1

k

．與橢圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系及若

AF

=3

FB

，即可得到m，進而得到k．

解答：解：∵c²=a²-b²=16-4=12，∴c=2

3

．
∴橢圓的右焦點F(2

3

，0)．
∴過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線為my=x-2

3

，其中m=

1

k

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

my=x-2 3 x2 16 + y2 4 =1

消去x得到(4+m2)y2+4

3

my-4=0．
∴y1+y2=

-4 3

4+m2

，y1y2=

-4

4+m2

．
∵

AF

=3

FB

，∴-y₁=3y₂，
把以上三式聯立消去y₁，y₂，得到m2=

1

2

，∴(

1

k

)2=

1

2

，即k²=2．
又∵k＞0，∴k=

2

．
故選B．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、把直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．