Question

設f（x）是定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，且它在區間（-∞，0）上單調增．
（1）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，試判斷f（m）+f（n）的符號；
（3）若f（1）=0解關于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0．

Answer 1

分析：（1）在（0，+∞）上任取2個數b和a，b＞a＞0，則-b＜-a＜0，由f（x）在區間（-∞，0）上單調增及f（x）是奇函數推出
f（b）＞f（a）．
（2） 不妨設m＜n，則由題意知m＜-n＜0，再由f（x）在區間（-∞，0）上單調增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），移項可證的結論．
（3）利用函數的單調性，把不等式轉化為log_a（1-x²）＞0=log_a1，分a＞1和1＞a＞0兩種情況，利用函數的單調性解不等式．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函數，證明如下：
設b＞a＞0，則-b＜-a＜0，∵f（x）在區間（-∞，0）上單調增，
∴f（-b）＜f（-a），又  f（x）是奇函數，∴-f（b）＜-f（a），
即   f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨設m＜n，則 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
∴m＜-n＜0，再由f（x）在區間（-∞，0）上單調增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
∴f（m）+f（n）＜0．
（3）∵f（1）=0，∴關于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0  即 f[log_a（1-x²）+1]＞f（1），
∴log_a（1-x²）+1＞1，∴log_a（1-x²）＞0，
當a＞1時，1-x²＞1，無解；      
當1＞a＞0時，1＞1-x²＞0，1＞x²＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，
綜上，關于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0的解集是：
當a＞1時，解集是∅，當1＞a＞0時，解集是（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查利用函數單調性的定義證明函數的單調性，以及利用函數的單調性解對數型不等式，體現了等價轉化的數學思想．