Question

【題目】如圖所示，等腰梯形中，，，，為中點，與交于點，將沿折起，使點到達點的位置（平面）．

（1）證明：平面平面；

（2）若，試判斷線段上是否存在一點（不含端點），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，

【解析】

(1)先利用線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直證明面平面即可；

(2)建立空間直角坐標系求出平面的法向量，再利用向量所成角的關系式求出直線與平面所成角的正弦值，建立關系式，即可得出的值.

（1）證明：連接，在等腰梯形中，，，為中點，

∴四邊形為菱形，∴，

∴，，即，，且，

平面，平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）由（1）可知四邊形為菱形，∴，

在等腰梯形中，∴正三角形，

∴，同理，

∵，∴，∴．

由（1）可知，，

以為原點，，，分別為軸，軸，為軸，建立空間直角坐標系，

由題意得，各點坐標為，，，，，

∴，，，

設，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，，得，∴，

設直線與平面所成角為，，

則，即，

化簡得：，解得，

∴存在點為的中點時，使直線與平面所成角的正弦值為．