Question

已知a，b∈N₊，拋物線f（x）=ax²+bx+1與x軸有兩個不同交點，且兩交點到原點的距離均小于1，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據a，b都是正整數，得出對稱軸的符號，以及△的符號，a-b+c的符號，進而得出不等式組，分析得出a的取值即可．

解答：解：由題意可得：∵a，b都是正整數，
∴-

b

2a

＜0，

1

a

＞0，
∵拋物線y=ax²+bx+l與x軸有兩個不同的交點A、B，
且A、B到原點的距離都小于1，則點A，B兩點在0和-1之間，于是，a，b同時滿足

△=b2-4ac＞0 a-b+1＞0 -1＜- b 2a ＜0

，即

a＜ b2 4 a＞b-1 a＞ b 2

，①
①當

b

2

≥b-1，即b≤2時，有

b2

4

≤1，又a＜

b2

4

與a是正整數矛盾，
故

b

2

＜b-1，即b＞2，若b-1≥

b2

4

，有（b-2）²≤0，則b-1＜

b2

4

，
不等式組①的解為：b-1＜a＜

b2

4

，
若b-1＜a，而a，b都是正整數，取最小的a，令a=b，則a＜

a2

4

，
解得：a＞4，
所以a取最小的數值為5．故a+b的最小值等于10．
故答案為10．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點坐標的性質，以及不等式組的解法等知識，題目綜合性較強，注意分析a，b之間的等量關系得出a的取值．