Question

已知A、B兩點在拋物線C：x²=4y上，點M（0，4）滿足

MA

=λ

BM

．
（1）求證：

OA

⊥

OB

；
（2）設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N．
①求證：點N在一條定直線上；
②設4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：先設A，B的坐標和直線AB的方程，再聯立直線與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程得到兩根之和與兩根之積．
（1）根據向量的數量積運算表示出

OA

•

OB

，然后將所求的兩根之和與兩根之積代入即可得到：

OA

•

OB

=0，進而的得證．
（2）①先表示出過點A的切線和過點B的切線，然后兩直線聯立可求出點N的坐標，即可得到點N在定直線y=-4上．
②根據

MA

=λ

BM

可知（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），進而可聯立方程可求得k²的表達式，進而求得k²的范圍，最后根據直線MN在x軸的截距為k，進而可得答案．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=kx+4與x²=4y聯立得x²-4kx-16=0，
△=（-4k）²-4（-16）=16k²+64＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
（1）證明：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=（1+k²）（-16）+4k（4k）+16=0，
∴

OA

⊥

OB

．
（2）①證明：過點A的切線：
y=

1

2

x₁（x-x₁）+y₁=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，①
過點B的切線：y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，②
聯立①②結合（1）的結論得點N（

x1+x2

2

，-4），
所以點N在定直線y=-4上．
②∵

MA

=λ

BM

，∴（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），
聯立可得

x1=-λx2 x1+x2=4k x1x2=-16

k²=

(1-λ)2

λ

=

λ2-2λ+1

λ

=λ+

1

λ

-2，4≤λ≤9，
∴

9

4

≤k²≤

64

9

．
直線MN：y=

-8

2k

x+4在x軸的截距為k，
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是
[-

8

3

，-

3

2

]∪[

3

2

，

8

3

]．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．涉及了拋物線的性質，向量的計算，不等式等知識．